Sifat Logaritma dan Koleksi Soal

Pengertian Logaritma

        Logaritma adalah sebuah hasil kebalikan dari suatu perpangkatan. Misalkan, pada sebuah perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

a log b = c

     Dengan syarat a > 0. Pada penulisan logaritma a log b = c diatas berikut ini keterangannya :

• Bialangan (a) disebut  sebagai bilangan pokok
• Bilangan (b) disebut sebagai bilangan numerus atau disebut juga bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0)
• Bilangan (c) merupakan hasil dari logaritma tersebut

       Jika  suatu nilai a sama dengan 10,  maka biasanya angka 10 tidak dituliskan sehingga berubah  menjadi log b = c.
       Dan apabila suatu nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya akan ditulis dengan logaritma natural dan pada penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya e log b = c menjadi:

ln b = c

Bentuk Umum Logaritma

   Bentuk umum dari logaritma ialah sebagai berikut :

ax = b         ↔      x = a log

             

   Dengan syarat sebagai berikut: b > 0, a > 0 dan a ≠ 1
  dimana ;

• a = Bilanganya pokok atau basis logaritma
• b = Numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai  dari logaritmanya
• x = Hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Sifat – Sifat Logaritma

      Jika a > 0, a ≠ 1, m ≠ 1, b > 0 dan c > 0, maka berlaku :

 

Sifat-sifat Persamaan Logaritma

1. Sifat Logaritma Dari Perkalian  
         Sifat logaritma dari perkalian adalah suatu hasil dari penjumlahan dari dua logaritma lain yang
     nilai kedua numerusnya adalah faktor dari nilai numerus awal. 

                                                         ^alog p. q = ^alog p + ^alog q 

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

            Perkalian logaritma adalah suatu sifat logaritma a yang dapat dikalikan dengan logaritma b
    apabila nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil
    perkaliannya tersebut adalah logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma
    a,  dan nilai numerusnya sama dengan logaritma b.

                                                           ^alog b x ^blog c = ^alog c

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1.

3. Sifat Logaritma Dari Pembagian 

           Sifat logaritma dari pembagian adalah merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain
    yang nilai kedua numerus-nya ialah pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal.
                                                              
                                                            ^alog p/q : ^alog p – ^alog q

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma Berbanding Terbalik

          Sifat logaritma berbanding terbalik adalah suatu sifat dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran.

                                                            ^alog b = 1/^blog a

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1.

5. Logaritma Berlawanan Tanda 

            Sifat logaritma berlawanan tanda yaitu suatu sifat dengan logaritma yang memiliki numerus-
    nya yaitu merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal.

                                                              ^alog p/q = – ^alog p/q

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma Dari Perpangkatan 

          Sifat logaritma dari perpangkatan adalah suatu sifat dengan nilai numerus-nya merupakan 

    suatu eksponen (pangkat) dan dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya 

    menjadi bilangan pengali.

                                                                 ^alog b^p = p. ^alog b

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma 

            Sifat perpangkatan bilangan pokok logaritma adalah suatu sifat dengan nilai bilangan
    pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) yang dapat dijadikan logaritma baru dengan
    mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi.

                                                       a^plog b = 1/p^alog b

    Dengan syarat – syaratnya yaitu: a > 0, a \ne 1.

8. Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Dengan Perpangkatan Numerus 

           Sifat bilangan pokok sebanding dengan perpangkatan numerus adalah sutu sifat dengan nilai
     numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya yang mempunyai
     hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.

                                                                    ^alog a^p = p

     Dengan syarat – syaratnya adalah sebagai berikut: a > 0 dan a \ne 1.

9. Perpangkatan Logaritma 

            Sifat perpangkatan logaritma yaitu sifat bilangan yang memiliki pangkat berbentuk
    logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai yang numerusnya dari logaritma tersebut.

                                                          a ^alog m = m

     Dengan syarat – syaratnya adalah sebagai berikut: a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Mengubah Basis Logaritma 

               Sifat mengubah basis logaritma ini yaitu juga dapat dipecah menjadi perbandingan dua
      logaritma.
                                                                        ^plog q = ^alog p/^a log q

       Dengan syarat – syaratnya adalah sebagai berikut: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh – Contoh Bilangan Logaritma

Grafik Logaritma

         Fungsi  dari bentuk logaritma yang dinyatakan dalam bentuk grafik dapat digunakan untuk membantu menentukan grafik fungsi dari  logaritma. Di bawah ini adalah gambar grafik logaritma beserta inversnya.

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

1. Diketahui log 3 = 0,332 dan log 2 = 0,225.maka log 18 dari soal tersebut adalah……..

    Penyelesaian:   

     Log 18 = log 9 . log 2

     Log 18 = (log 3.log 3) . log 2

     Log 18 = 2 . (0,332)  + (0,225)

     Log 18 = 0,664 + 0,225

     Log 18 = 0,889

2. Nilai dari (3log 5 – 3 log 15 + 3log 9)…… ? 
    Penyelesaian :
    (3log 5 – 3log 15 + 3log 9 = 3log ( 5 . 9) / 15
                                               = 3log 45/15
                                               = 3log 3
                                               =1

3. Diketahui  dan . Nilai  dinyatakan dalam p dan q
    adalah…                  
    Penyelesaian :

            

4. Hasil dari  adalah …

    Penyelesaian:

                     

5.     = …      

         Penyelesaian :

          Sifat aljabar   

          Maka gunakan sifat tersebut untuk menyelesaikan pembilangnya.

 

                     

6. Berapakah Hasil dari 

     Penyelesaianya:
                    


7. Tentukan hasil dari .......
     Penyelesaian:
     Ingat :
             
     Maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :
            
8. Diketahui ³log 5 = x dan ³log 7 = y. Hitunglah nilai dari ³log 245 ^1/2 !     
    Penyelesaian :
              ³log 245 ^½ = ³log (5 x 49) ^{½
              3}log 245 ^½ = ³log ((5) ^½ x (49) ^½)
              ³log 245 ^½ = ³log (5) ^½ + ³log (7²) ^{½
              3}log 245 ^½ =  ½( ³log 5 + ³log 7)
              ³log 245 ^½ = ½(x + y)
     Sehingga, nilai dari ³log 245 ^½ yaitu ½ (x + y).

9. Apabila b = a⁴, nilai a serta b positif, maka nilai ^alog b – ^blog a yaitu…?
    Penyelesaian :

    Diketahui jika b = a⁴, maka bisa kita subsitusikan ke dalam perhitungan menjadi:
     ^alog b – ^blog a = ^alog a⁴  – a⁴ log a
     ^alog b – ^blog a = 4 (^alog a) – 1/4( ^alog a)
     ^alog b – ^blog a = 4 – 1/4
     ^alog b – ^blog a = 3^3/4
    Sehingga, nilai dari ^alog b – ^blog a pada soal nomor 2 yaitu 3^3/4.

10. Apabila ^alog (1- ³log 1/27) = 2, maka hitunglah nilai a.
     Penyelesaian :

     Misalkan nilai 2 menjadi suatu logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya ialah a menjadi   
     ^alog a²= 2, maka akan kita peroleh:
                              ^alog (1- ³log 1/27) = 2
                              ^alog (1- ³log 1/27) = ^alog a²
     Nilai numerus kedua logaritma tersebut dapat menjadi sebuah persamaan, yaitu:
                         1- ³log 1/27 = a^{2
                             3}log 3 – ³log 1/27 = a^{2
                            3}log 3 – ³log 3^(-3) = a^{2
                            3}log 3/3^-3 = a^{2
                           3}log 3⁴ = a²
                            4 = a²
   Sehingga kita dapatkan nilai a = 2.

11. Apabila Diketahui 2log 8 = a dan 2log 4 = b. Maka hitunglah nilai dari 6log 14...
      Penyelesaian :
            Untuk 2 log 8 = a
             (log 8 / log 2) = a
                           log 8 = a log 2
             Untuk 2 log 4 = b
             (log 4 / log 2) = b
                           log 4 = b log 2
             Sehingga ,
               16 log 8 = (log 16) / (log68)
                             = (log 2.8) / (log 2.4)
                             =  (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
                             =  (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
                             =  log2 (1+ a) / log 2( 1+ b)
                             =  (1+a) / (1+ b)
        Sehingga, nilai dari 6 log 14 pada contoh soal di atas yaitu (1+a) / (1+b)

12. Hitunglah nilai – nilai logaritma berikut :

           a. ⁶log 9 + ⁶log 8 – ⁶log 2

           b. ⁹log 135 – ⁹log 5

       Penyelesaian :

        Berdasarkan sifat logaritma ^glog (axb) = ^glog a + ^glog b dan ^glog (a:b) = ^glog a – ^glog b maka

            a. ⁶log 9 + ⁶log 8 – ⁶log 2

                  = ⁶log (9.8 /2)

                  = ⁶log 36

                  = ⁶log 6²

                  = 2 ⁶log 6                        (berdasarkan sifat  ^glog aⁿ = n ^glog a )

                  = 2 . 1

                  = 2

            b.  ⁹log 135 – ⁹log 5

                 =  ⁹log ( 135 / 5 )

                 =  ⁹log 27

                 = ^{3^2}log 3³

                 = 3/2 ³log 3                          ( berdasarkan sifat  ^{g^n}log a^m = m/n ^glog a )

                 = 3/2

13. Jika nilai log 3= a dan log 5 = b, tentukan nilai :

              a. log 75

              b. log 1.500

      Penyelesaian :

      Berdasarkan sifat logaritma ^glog (axb) = ^glog a + ^glog b

               a. log 75 = log (3 × 5²)

                              = log 3 + log 5²

                              = a + 2b

                b. log 1500 = log ( 3 × 5 × 100 )

                                   = log 3 + log 5 + log 100

                                   = a + b + log 10²

                                   = a + b + 2

14. Jika ${}^{2}log(a-b)=4$, maka ${}^{4}log\left(\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)=\cdots$

$Penyelesaian\; :$

$4log (2\surd a+\surd b+2\surd a-\surd b)\; = 4log (4\surd aa-b) \; = 4log 4\surd a- 4log (a-b) \; = 4log 4+ 4log \surd a- 12\cdot 2log (a-b) \; =1+ 22log a12- 12\cdot 4 \; =1+ 14\cdot 2log a- 2 \; =14\cdot 2log a- 1 \; =2log a- 44$

$15.$$Jika\; x1\; dan\; x2\; memenuhi\; 4logx-xlog16=76-xlog8,\; nilai\; x1\cdot x2\; adalah...$

$Penyelesaian\; :$

$16.$$Jika\; log x=6\; dan\; log y=12,\; maka\; nilai\; adalah...$

$Penyelesaian\; :$

$17.$$Jika\; (p2+4)log(p+1)=2log 53log \surd 5\cdot 2log 81,\; maka\; 4p2=\cdots$

$Penyelesaian\; :$

$18.$$Jika\; 7log (3log (2log x))=0,\; nilai\; 2x+4log x2\; adalah...$

$Penyelesaian\; :$

$19.$$Jika\; diketahui\; x\; dan\; y\; adalah\; bilangan\; real\; dengan\; x\; >1\; dan\; y\; >0.\; Jika\; xy\; =\; xy\; dan\; xy\; =\; x5y,$$maka\; x2+3y\; =\cdots$

$Penyelesaian\; :$

$20.$$Jika\; diketahui: \; f(n)=2log 3\cdot 3log 4\cdot 4log 5\cdots n-1log n\; maka\; f(8)\; +\; f(16)\; +\; f(32)+\cdots +\; f(230)\; =\cdots$

$Penyelesaian\; :$

$21.$$Jika\; diketahui\; x=log a,\; y=log b\; dan\; z=log c.\; Maka\; bentuk\; sederhana\; dari$

$Penyelesaian\; :$